条件概率：P(A|B) ≠ P(B|A)

假设高考放榜后，有人做了个统计：考上重点大学的同学里，八成每天刷题超过 3 小时。于是家长群里流传一句话：“每天刷题 3 小时，八成能上重点。”听起来很顺，其实把两个完全不同的数字搞混了。

什么是条件概率

条件概率写作 P(A|B)，读作“在 B 发生的前提下，A 发生的概率”。竖线后面的 B 是你已经知道的条件，相当于把视野缩小到“B 成立的那些情况”里，再看其中 A 占多少。

用具体数字算一遍。假设某校有 1000 名高三学生：

那么：

两个数字的分子都是同一群人（既刷题又考上的 80 人），但分母不同：前者看的是 100 个考上的人，后者看的是 400 个刷题的人。所以“考上的人多数刷题”推不出“刷题的人多数能考上”。

这种颠倒随处可见：“大多数车祸发生在离家不远的地方”，并不说明家附近的路更危险，只是因为我们大部分时间都在家附近开车；“成功的创业者很多都退学了”，也不代表退学的人大多能创业成功。

下面拖动面积图，调整两个事件的大小和重叠部分，看看 P(A|B) 和 P(B|A) 如何各自变化。你会发现，只有当 A 和 B 本身一样常见时，两个数字才会相等。

这里是交互演示「面积图：P(A|B) 与 P(B|A)」：在预测训练营 App 里可以亲手拖动、实时看到结果。

当你看到“X 的人里有多少是 Y”，先问自己：我要预测的是哪个方向？分母是谁？

P(A|B) 和 P(B|A) 共享同一个交集，但分母不同，千万不要互换。