用频数理解贝叶斯（1000 人方格）

假设你参加了一项疾病筛查，结果是阳性。医生告诉你：这种检查对患者的检出率是 90%。那你真正患病的概率是多少？大多数人的第一反应是“90% 左右”。真实答案可能只有一成左右。差别从哪里来？

把百分比换成人数

概率很抽象，人数却一目了然。设想有 1000 个和你情况类似的人来做这项检查，并且已知：

• 基础概率：这种病在人群中占 1%；
• 敏感度：患者中 90% 会查出阳性；
• 误报率：健康人中有 9% 也会查出阳性。

一步步分：

• 1000 人中，患病的有 1000 × 1% = 10 人，健康的有 990 人。
• 10 个患者里，查出阳性的有 10 × 90% = 9 人。
• 990 个健康人里，被误报阳性的有 990 × 9% ≈ 89 人。

所以阳性的一共约 9 + 89 = 98 人，其中真正患病的只有 9 人：9 ÷ 98 ≈ 9.2%。

问题的关键在于：健康人太多了。哪怕误报率只有 9%，乘上 990 人，误报的人数也远远超过真正的患者。

四个名词

• 先验：看到证据之前的概率，这里是 1% 的基础概率。
• 敏感度：真的成立时，出现这个证据的概率，即 P(阳性|患病)。
• 误报率：其实不成立时，也出现这个证据的概率，即 P(阳性|健康)。
• 后验：看到证据之后更新得到的概率，即 P(患病|阳性)。

注意，“检出率 90%”说的是 P(阳性|患病)，而你想知道的是 P(患病|阳性)。这正是第 1.1 节讲的：两个方向不能互换。

下面的点阵图就是这 1000 个人。拖动基础概率、敏感度和误报率三个滑块，看看阳性人群里真正患病的比例怎么变化。

不只是医学

判断一条消息是不是诈骗、一个异常数据是不是真问题，都是同样的结构：先想清楚基础概率，再看证据在“是”和“不是”两种情况下各有多常见。